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研究种类：Quantum Computing, Adiabatic Cuantum Computation
原文作者: Research Outreach
创作者：Sylvia@DAOrayaki.org
审核者：Tan Zhi Xuan@DAOrayaki.org
原文: Discovering the optimal schedule for adiabatic quantum computation
在解决复杂计算这方面，量子计算机的表现优于传统计算器。现在已经出现了商用的量子计算机，而这些计算机通过一个叫做“绝热演化”的过程进行量子计算。量子绝热定理指出，如果一个量子力学系统受到逐渐变化的外部条件的影响，它可以调整其配置。来自德国 T-Systems 国际有限公司的 Stefan Isermann 博士研究了绝热定理，并确定了一个最佳脉冲计划的条件，进而减少了计算时间。
自 20 世纪 80 年代诺贝尔奖获得者、物理学家和罗杰·费曼首次提出量子计算机以来，量子计算机已经利用复杂的量子力学来进行经典计算机无法解决的计算。谷歌在 2019 年就建立了量子霸权，当时他们开发出了第一台能够超越传统计算机的量子机器，进行了经典超级计算机需要 1 万年才能完成的计算（而 IBM 宣称他们可以在 2.5 天内解决这一任务）。虽然谷歌基于电路的量子门计算机可以映射合适的复杂量子算法，但商业量子计算机是为了能够最优地解决问题，并通过绝热演化进行量子计算。
量子绝热定理表明，如果一个量子力学系统受到逐渐变化的外部条件的影响，它可以适应它的配置，这意味着这个配置的概率分布在这个过程中会发生变化。另一方面，如果外部条件快速变化，配置没有足够的时间来适应，那么配置的初始概率分布将几乎保持不变，并导致一个完全不稳定的结果。
D-Wave 公司的量子退火器是迄今为止唯一可用于商业用途的量子计算机。D-Wave 的机器于2011 年首次推出，是绝热量子计算的一个版本，旨在找到问题的最优解。通过基于 Python 的软件开发工具包和网站界面，学生即使没有全面掌握量子力学知识，也可以与 D-Wave 量子计算机交互。
来自 T-Systems 国际有限公司的 Stefan Isermann 博士详细研究了绝热定理，并推导出了减少计算时间的最佳脉冲计划的条件。他确定了在最优脉冲计划下绝热量子搜索算法所需的计算时间，并提供了支持性的数据验证。
系统的时间演化由薛定谔方程控制，而薛定谔方程就是量子力学中的“牛顿第二定律”。
绝热量子计算
量子退火是一种量子计算技术，在大量可能解决方案中找到问题的最优解决方案。量子退火利用了量子物理学特有的特性，如量子穿遂
（粒子穿透势能屏障）、纠缠（当两个粒子纠缠在一起，即使相隔很远也保持联系）和叠加（两个或多个量子态可以加在一起，即叠加，以形成另一个有效的量子态）。量子退火器使用绝热量子计算来解决最优解问题。理论上，它可以检查n 个量子比特（量子信息的基本单位）的 2n 种可能配置，即使 n 是一个非常大的数字，而这是经典计算机无法完成的壮举。绝热量子计算将转换问题和哈密尔顿算符关联了起来。
通过研究绝热定理，Isermann 确定了量子搜索的最佳脉冲计划，上图显示的为“N=256”的最佳进度表。该脉冲计划决定了如何在标度时间“𝜏=t/T”内从初始（s=0）转换到最终（s=1）状态的哈密尔顿算符
哈密顿算符
在量子力学中，一个系统的“哈密顿算符”与系统的总能量相对应。系统的能谱是所有可能结果的集合，以能量特征值的形式呈现，可以通过测量系统总能量得到。
为了找到问题的最优解，系统最初被带入一个容易准备的基态，它是所有 2n 种可能配置的叠加，并且所有配置都是均匀分布的。最终哈密顿算符的基态找出了具体问题的解决方案。哈密顿算符的基态是能量最低的状态，被称为系统的零点能量。这个初始的“简单”哈密顿算符被绝热地（即缓慢而稳定地）演化为最终所需的复杂哈密顿算符。采用绝热定理意味着系统在整个演化过程中保持在基态。当演化完成后，系统的最终状态描述了问题的解决方案。
绝热演化从系统处于初始哈密顿算符的基态开始，以系统处于最终哈密顿算符的基态结束。我们希望，从初始哈密顿算符开始，在穿越绝热演化路径或脉冲计划后，系统在能解决问题的哈密顿算符的基态中终止。这个未知的基态具有最小的能量特征值，对应的是问题最优解的配置。它是从初始哈密顿算符的已知基态中通过绝热移动而达到的。如果转换发生得足够慢，系统将保持基态，形成了能解决问题的哈密顿算符的最优配置，即从最初所有配置的均匀概率移动到围绕未知配置的解决方案峰值的概率分布。
Isermann 描绘了系统时间演化是如何被薛定谔方程控制的。薛定谔方程是一个线性偏微分方程，相当于经典力学中的牛顿第二定律，它调节着量子力学系统中波函数的时间演化。波函数是对一个孤立量子系统的量子状态的数学描述，其形式是一个随时间变化的复数概率振幅函数。过渡振幅是一个复数，能引起一个能量状态过渡到另一个能量状态的哈密顿算子，通过相互作用产生了过渡振幅。这证明了所有局部过渡振幅的总和是恒定的，与所选择的脉冲计划无关。局部过渡振幅的平方乘以一个小的时间间隔，就得出了从基态过渡到第一个激发态的概率。如果在某一特定时间出现较小的过渡振幅，那么它必须与另一时间出现的较大振幅相平衡，这将导致较高的过渡概率，所以振幅在整个时间演变过程中应该是恒定的条件。Isermann 还确认了一点，即虽然满足了最优脉冲计划的条件，但计算时间与最小能隙的倒数成正比，其中最小能隙是哈密顿算子时间演化过程中基态和第一个激发态（当系统的能量状态增加时）之间的差异。
与经典退火算法相比，量子退火过程的优势在于量子机械能隧穿高能势垒。
绝热量子搜索
Isermann 用搜索算法的数值模拟与一个玩具问题（用于教育或开发目的的小问题）的数值模拟来证实了这些结果。他将最佳脉冲计划条件应用于搜索一个未分类的数据库中的若干项目之一，以 N作为代表。经典算法的复杂度，即线性时间复杂度为N阶，这意味着算法的运行速度与输入的数量 N 成正比，更多的输入等于更长的时间。Grover 算法是一种用于非结构化搜索的量子搜索算法，其系统演化是基于量子门的，其复杂度为√N阶。
其他研究者提出，通过在时间上局部应用量子力学绝热定理，可以为绝热量子搜索获得一个最佳脉冲计划。局部意味着变化率不是恒定的，所以在任何时候，绝热演化路径或脉冲计划，都取决于该特定实例的能量缺口。然而，Isermann 对这一建议的有效性提出质疑，因为量子力学绝热定理只传达了一个全局性的声明（指整个计算时间，而局部指的是这个时间的部分或实例），其形式是对整个计算时间内从基态过渡到第一激发态的概率估计。此外，他的例子计算表明，精确应用这种方法并不能实现最优的脉冲计划。
计算结果得到证实
Isermann 计算了量子搜索中所有脉冲计划的相关过渡振幅，发现它们的总和为 π/2。他还计算了各种脉冲计划下搜索状态的过渡概率。Isermann 通过用相同的初始条件数值解薛定谔方程来验证他的结果。对应最优脉冲计划的演化证实：只有在时间 T=6√N 后，振幅小、频率为asinh(√N)/√N 的振荡才能达到 99%，并证实了分析结果。其中过渡概率 ε2 被精确计算，计算时间为 T=2√N asech ε，N 是要搜索的项目数，最小的能量间隙是ω1,0 = 1/√N。
量子跃迁
Isermann 还发现，脉冲计划受最小能隙的大小和位置的制约，或者说是基态和第一激发态之间的差异。发现一个最佳脉冲计划可以确保在满足最佳脉冲计划条件的同时，计算时间与最小能量间隙的倒数成正比。由于绝热定理估计计算时间与最小能隙的反平方成正比，这也说明了计算时间的二次加速。这种加速不仅适用于量子比特系统，也适用于每一个量子力学系统，Isermann 用一个非谐波振荡器的例子说明了这一点，他表示：“这是一个重要的结果，因为量子退火过程相对于经典退火算法的优势在于量子力学的隧穿可以贯穿高能势垒，但这只有在系统处于量子状态时才会得到。”总的来说，虽然在大多数情况下不能准确地指定一个最佳脉冲计划，但鉴于哈密顿算子问题的结构知识，可以得到指定一个最接近的最佳脉冲计划。
作者自述
是什么激发了我对绝热量子计算的兴趣并发表了这项研究呢。因为在未来的几年里，量子计算在信息技术领域将变得越来越重要。由于量子退火器是第一台商业化的量子计算机，了解它的可能性以及它的局限性是非常重要的。
参考文献
Isermann, S, (2021) On the optimal schedule of adiabatic quantum computing. Quantum Information Processing, 20, 1–19. 10.1007/s11128–021–03227–5
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